Étant donnés deux points A et B et un réel 
, le lieu des points M tels que 
est un cercle.
 |
 |
 |
| Soit M l’un des points recherchés. Alors |
On trace les deux bissectrices de l’angle  . Elles coupent la droite (AB) en C et D. |
On trace la droite parallèle à (AM) passant par B. Celle-ci coupe les bissectrices en E et F. |
 |
 |
 |
(AM) et (EF) sont parallèles donc la sécante (EM) crée deux angles  et  de même mesure. Comme  a aussi la même mesure, il vient que BEM est un triangle isocèle en B et que  . |
 . Alors BFM est un triangle isocèle en B donc  , d’où  .
On note que |
Le théorème de Thales sur ACEBM :  .
Le théorème de Thales sur ADM : Comme |
.
.
Donc les positions des points C et D ne dépendent que des points A et B et de la valeur de 
. Elles ne dépendent pas du point M. Par ailleurs 
est par construction un angle droit.
Conclusion : les points M recherchés voient un segment donné [CB] sous un angle de mesure constante 
. Le lieu recherché est le cercle de diamètre [CD] passant par C et D.
Voir aussi : Bissectrices et division harmonique
