Résolution algébrique des équations du troisième degré

On cherche les solutions de l’équation : $ax^3+bx^2+cx+d=0$ sachant que $a, b, c$ et $d$ sont des nombres complexes et que $a \ne 0$ .

Méthode de Cardan

On se limite au cas où $a, b, c$ et $d$ sont des nombres réels.

On peut diviser par $a \ne 0$ , ce qui donne $x^3+\dfrac{b}{a}x^2+\dfrac{c}{a}x+\dfrac{d}{a}=0$ .

On considère que $x^3+\dfrac{b}{a}x^2$ est le début de l’identité remarquable $\left (x+\dfrac{b}{3a} \right)^3$ . On obtient alors : $\left(x+\dfrac{b}{3a} \right)^3 + \left( \dfrac{c}{a} - \dfrac{b^2}{3a^2} \right)x+\dfrac{d}{a} - \dfrac{b^3}{27a^3} = 0$

On veut faire apparaître une seconde fois l’expression $x+\dfrac{b}{3a}$ : $\left(x+\dfrac{b}{3a} \right)^3 + \left( \dfrac{3ac-b^2}{3a^2} \right) \left ( x+\dfrac{b}{3a} \right ) + \dfrac{27a^2d - b^3}{27a^3} - \dfrac{b}{3a} \left( \dfrac{3ac-b^2}{3a^2} \right) = 0$

Ce qui donne finalement : $\left(x+\dfrac{b}{3a} \right)^3 + \left( \dfrac{3ac-b^2}{3a^2} \right) \left ( x+\dfrac{b}{3a} \right ) +\dfrac{27a^2d+2b^3-9abc}{27a^3} =0$

L’équation à résoudre est : $X^3+pX+q=0$ avec $X=x+\dfrac{b}{3a} ; p= \dfrac{3ac-b^2}{3a^2}$ et $q = \dfrac{27a^2d+2b^3-9abc}{27a^3}$

Remarque : le terme en $X^2$ a disparu car la somme la somme des racines complexes de cette équation est nulle. À démontrer.

L’astuce consiste à remplacer la variable $X$ par deux variables $u$ et $v$ telles que $X=u+v$ . L’équation devient après développement et factorisation : $u^3 + v^3 + (3uv+p)(u+v) + q=0$ .

Comme on passe d’une à deux variables, on peut leur imposer une relation supplémentaire que l’on choisit afin de simplifier notre équation.

On impose que $3uv+p=0$ , ce qui donne $uv=-\dfrac{p}{3}$ donc $u^3v^3= -\dfrac{p^3}{27}$ . Par ailleurs l’équation à résoudre se résume alors à $u^3 + v^3 = -q$ .

Nous savons que deux nombres, dont on connait la somme $S$ et le produit $P$ , sont les solutions de l’équation $X^2 -SX+P=0$ .

Par conséquent $u^3$ et $v^3$ sont les solutions de l’équation $X^2 + qX -\dfrac{p^3}{27} = 0$ .

$\Delta = \dfrac{4p^3+27q^2}{27}$ . Si $\Delta \ge 0$ alors on trouve $X$ puis la solution réelle $x$ de l’équation de départ. La quantité $\Delta$ est appelée discriminant de l’équation $X^3+pX+q=0$ .

Exemple (amusant) : $x^3+3x-4=0$

l’équation est déjà de la forme $X^3+pX+q=0$ . En posant $x=u+v$ , on obtient l’équation : $u^3+v^3+3(uv+1)(u+v) - 4=0$

La relation supplémentaire que nous imposons à $u$ et à $v$ est : $uv = -1$ , donc $u^3v^3=-1$ . L’équation devient alors : $u^3+v^3=4$ .

Par conséquent $u^3$ et $v^3$ sont les solutions de l’équation $X^2 -4X +1 = 0$ . On trouve : $2+\sqrt{5}$ et $2-\sqrt{5}$

La solution réelle de l’équation $x^3+3x-4=0$ est $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ . Or il est assez simple de démontrer que cette solution est 1. Pour le prouver il suffit de calculer $\left( \sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} \right)^3$ et de constater que l’on retombe sur $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ . La fonction cube étant strictement croissante, 1 est le seul nombre réel égal à son cube.

De cet exemple, on tire la consigne suivante : avant de se plonger dans la résolution laborieuse décrite dans cet article, il est conseillé de rechercher l’existence d’une solution évidente.

Propriété intermédiaire

L’équation $X^3+pX+q=0$ admet une solution réelle unique si et seulement si $\Delta > 0$ .

Pour cela on considère la fonction $f(x)=x^3+px+q$ . Sa dérivée est $f'(x)=3x^2+p$ .

Si $p \ge 0$ alors la dérivée est positive et la fonction $f$ est croissante. Elle ne s’annule que pour une seule valeur de $x$ , et bien entendu $\Delta > 0$ .

Si $p > 0$ alors la dérivée est positive sur $\left]-\infty;-\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\right[$ et $\left]\sqrt{-\dfrac{p}{3}};+\infty\right[$ et négative sur $\left]-\sqrt{-\dfrac{p}{3}};\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\right[$ .

Donc $f$ est croissante sur $\left]-\infty;-\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\right[$ et $\left]\sqrt{-\dfrac{p}{3}};+\infty\right[$ et décroissante sur $\left]-\sqrt{-\dfrac{p}{3}};\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\right[$ .

Par conséquent $f$ admet un maximum relatif $M=f\left(-\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\right)$ et un minimum relatif $m=f\left(\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\right)$ . Pour que la fonction ne s’annule qu’une seule fois, il faut que $m$ et $M$ soient de même signe, c’est à dire que $mM \ge 0$ .

$mM = \left(q+\dfrac{2p}{3}\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\right)\left(q-\dfrac{2p}{3}\sqrt{-\dfrac{p}{3}}\right) = \Delta$ . D’où le résultat.

Discriminant négatif

L’équation $X^2 + qX -\dfrac{p^3}{27} = 0$ possède deux solutions complexes et conjuguées $u^3 , v^3$ . Les racines cubiques de $u^3$ sont $u , ju , j^2u$ . Pour chaque valeur, on trouve la racine cubique de $v^3$ avec la relation supplémentaire : $uv = -\dfrac{p}{3}$ , et par conséquent on détermine les 3 solutions de l’équation $X^2 + qX -\dfrac{p^3}{27} = 0$ .

De plus, on démontre que $v=\overline{u}$ :

$uv = -\dfrac{p}{3}$ donc $v = -\dfrac{p}{3u} = - \dfrac{p\overline{u}}{3\Vert u \Vert^2} = k\overline{u}$ avec $k = - \dfrac{p}{3\Vert u \Vert^2}$ qui est un nombre réel. Donc $v^3 = k^3 \overline{u}^3$

Par ailleurs $v^3 = \overline{u^3} = \overline{u}^3 = k^3 \overline{u}^3$ . Par conséquent $k^3 = 1$ et $k=1$ . Ainsi $v = \overline{u}$

Histoire : Cette méthode a été proposée par Jérôme Cardan dans son ouvrage Ars Magna publié en 1545. Cependant, Cardan se serait approprié la méthode en la volant à Niccolò Fontana dit Tartaglia (« Le Bègue »).

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