L’axe radical de deux cercles distincts est lieu géométrique des points dont les puissances aux deux cercles sont égales.
Avant de pouvoir le construire, il faut faire le calcul préliminaire :
Soient deux cercles 
et 
de centres O et P, de rayons 
et 
, M un point de l’axe radical de ces deux cercles, (MA) la tangente en passant par M et (MB) la tangente en passant par M.
En utilisant le théorème de Pythagore pour les triangles MAO et MBP, on obtient : 
et 
.
Les puissances de M par rapport à ces deux cercles sont égales : 
. Ce qui donne : 
, soit 
. (1)
Construction : L’égalité (1) s’interprète ainsi : l’axe radical est le lieu géométrique des points dont les carrés des distances à deux points fixes (O et P) font entre eux un différence constante (
). Voir : Lieux géométriques des points dont les carrés des distances à deux points fixes ont une différence constante.
Suite du calcul : Soit K le projeté orthogonal de M sur (OP). En appliquant le théorème de Pythagore aux triangles MOK et MPK, on obtient : 
et 
.
En remplaçant dans (1) : 
, soit 
. Comme 
, il vient : 
. (2)
Ainsi 
ne dépend pas de K et est constant. Tous les points de la droite passant par K et perpendiculaire à (OP) ont le même projeté orthogonal K. On en conclut que l’axe radical est cette droite passant par K et perpendiculaire à (OP).
Sachant que 
, l’égalité (2) devient : 
Soit I le milieu de [OP], on obtient 
.
Si le 
alors l’axe radical est à gauche du milieu de [OP].
Remarque : Il existe deux positions du point M pour lesquelles les tangentes (MA) et (MB) sont confondues et pour lesquelles M est le milieu de [AB]. Un autre procédé de construction consiste à tracer ces deux tangentes communes aux deux cercles. Alors l’axe radical est la droite passant par les deux milieux. Voir : Tangente commune à deux cercles.
