La bissectrice de l’angle BAC coupe le côté BC au point D. On démontre l’égalité des rapports des longueurs : 
Explications :
On complète la figure par une droite (CE) parallèle à (AD) et qui coupe la droite (AB) au point E.
On peut alors écrire les égalités de mesures d’angles suivantes :
car la droite (AD) est la bissectrice de BAC.
car les droites (AD) et (EC) sont parallèles donc les deux angles alternes-internes ont la même mesure.
car les droites (AD) et (EC) sont parallèles donc les deux angles correspondants ont la même mesure.- Donc
. Ce qui permet de conclure que le triangle AEC est isocèle en A et que les longueurs AE et AC sont égales.
On applique le théorème de Thales sur le triangle BEC : 
. Comme 
, l’égalité des rapports devient : .
