Soit un triangle ABC. On construit le cercle inscrit au triangle ABC ainsi :
- On trace les bissectrices de deux angles de ce triangle.
- Ces deux bissectrices se croisent au point O qui est le centre du cercle inscrit au triangle. C’est le cercle tangent aux trois côtés du triangle.
Explications :
On utilise les deux propriétés :
- tout point de la bissectrice d’un angle se trouve à égale distance des deux côtés de l’angle.
- tout point situé à égale distance des deux côtés d’un angle appartient à la bissectrice de cet angle.
Le point O est l’intersection de deux bissectrices, par exemple celles de l’angle BAC et ACB.
On trace la perpendiculaire à (AC) passant par O. Elle coupe (AC) au point D. Par définition de la distance d’un point à une droite, OD est la distance de O à la droite (AC). On construit de la même façon les points E et F.
On peut écrire les deux égalités de distances suivantes : OD = OE (car O est sur la bissectrice de BAC) et OD = OF car O est sur la bissectrice de ACB).
Si OD = OE et OD = OF, il vient OE = OF, c’est-à-dire que O se trouve à égale distance de [BA] et de [BC], donc O appartient à la bissectrice de l’angle ABC. On vient ainsi de démontrer que les trois bissectrices du triangle se coupent au point O.
On considère maintenant le cercle de centre O et de rayon OD. On vient de vérifier que les points E et F appartiennent aussi à ce cercle. Or par construction du point D, (OD) et (AC) sont perpendiculaires. Comme OD est un rayon du cercle, on peut affirmer que le côté AC est tangent au cercle. De la même façon on peut démontrer que les deux autres côtés du triangle, CB et BA sont aussi tangents au cercle. Il s’agit donc bien du cercle inscrit au triangle ABC.
Remarque : Il s’agit de la proposition IV.4 des Éléments d’Euclide.
