Polynômes

On travaille sur \@{K}[X] avec \mathbb{K}=\mathbb{R} ou \mathbb{K}=\mathbb{C}.

    \[ \sum\limits_{k \ge 0} a_k X^k \times \sum\limits_{k \ge 0} b_k X^k = \sum\limits_{k \ge 0} \left ( \sum\limits_{i=0}^k a_i b_{k-i} \right ) X^k \]

Polynômes irréductibles

P irréductible si et seulement si P possède que deux diviseurs unitaires : 1 et P divisé par son coefficient dominant.

Dans \mathbb{C}[X] les polynômes irréductibles sont de degré 0 ou 1.

Dans \mathbb{R}[X] les polynômes irréductibles sont de degré 0, 1, ou de degré 2 avec un discriminant strictement inférieur à 0.

Racines

Le reste de la division euclidienne de P par (X-a) est P(a).

P(a)=0 \iff (X-a)/P.

a racine double de P \iff P(a)=0 et P'(a)=0.

a racine d’ordre k de P \iff P=(X-a)^k Q avec Q(a) \ne 0.

Dans \mathbb{R}[X] ∶

  • P(a)=0 \iff P(\bar{a})=0. De plus les deux racines complexes sont de même ordre.
  • Tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle.

Dans \mathbb{C}[X] ∶ P / Q \iff toutes les racines de P (comptées avec multiplicité) sont racines de Q.

Un polynôme est scindé lorsqu’il peut s’écrire sous forme de produit de facteurs du 1er degré.

    \[ P = \sum\limits_{k=0}^n a_k X^k = a_n \prod\limits_{k=1}^n (X-b_k) \quad \implies \quad \sum\limits_{k=1}^n b_k = -\dfrac{a_{n-1}}{a_n} \quad \text{et} \quad \prod\limits_{k=1}^n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n} \]

Théorème de D’Alembert-Gauss : Soit P polynôme à coefficients complexes et de degré n, l’équation P(z)=0 admet exactement n solutions complexes différentes ou non. Autrement dit P est scindé si deg(P) \ge 1.

Formule de Taylor :

    \[ P \in \mathbb{C}[X] \qquad \text{deg}P = n \qquad a \in \mathbb{C} \qquad P = \sum\limits_{k=0}^n \dfrac{P^{(n)} (a)}{k!} (X-a)^k \]

Polynômes d’interpolation de Lagrange

Soient a_0, a_1, \dots, a_n \quad n scalaires fixés deux à deux distincts. Pour tous (\lambda_0, \lambda_1, \dots, \lambda_n) \in \mathbb{K}^{n+1}, il existe un polynôme unique P de degré inférieur ou égal à n tel que P(a_0) = \lambda_0, P(a_1) = \lambda_1, \dots, P(a_n) = \lambda_n.

    \[ P = \sum_{k=0}^n \lambda_k \prod_{0 \le i \le n, i \ne k} \left ( \dfrac{X-a_i}{a_k - a_i} \right ) \]

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