Représentations matricielles

$B_E = (e_1,e_2,\dots,e_p) \qquad B_F=(f_1,f_2,\dots,f_n) \qquad \phi \in L(E,F) \qquad \phi(e_j) = \sum_{i=1}^n a_{ij} f_i$

La matrice de $\phi$ dans les bases $B_E$ et $B_F$ est $(a_{ij}) \in M_{n,p} (\mathbb{K})$ et est notée $Mat_{B_E B_F} (\phi)$ . La j^ème colonne $(a_{ij})$ donne les coordonnées de $\phi(e_j)$ dans la base $B_F$ . Le nombre de colonnes est donné par la dimension de l’espace de départ, et le nombre de lignes par celle de l’espace d’arrivée.

$\psi : L(E,F) \longrightarrow M_{n,p} (\mathbb{K})$ définie par $\psi(\phi) = Mat_{B_E B_F} (\phi)$ est un isomorphisme d’espace vectoriel. Donc dim $L(E,F) = np$ .

$Mat_{B_E} (\phi)$ triangulaire supérieure si et seulement si $\forall k \in [\![1,p]\!], \phi ( Vect (e_1,e_2,\dots,e_k)) \subset Vect (e_1,e_2,\dots,e_k)$ . C’est-à-dire si et seulement si $Vect (e_1,e_2,\dots,e_k)$ est stable par $\phi$ .

Soit $A = Mat_{B_E} (\phi)$ :

$\phi$ projecteur si et seulement si $A^2 = A$
$\phi$ symétrie si et seulement si $A^2 = Id_E$
$\phi$ nilpotent si et seulement si $\exists p \in \mathbb{N}, A^p = 0$

Soit $A = Mat_{B_E B_F} (\phi)$ . $\phi$ inversible si et seulement si $A$ est inversible. De plus $Mat_{B_F B_E} (\phi^{-1}) = A^{-1}$

Soit $A = Mat_{B_E} (u_1,u_2,\dots,u_p ). \qquad (u_1,u_2,\dots,u_p)$ est une base de $E$ si et seulement si $A$ est inversible.

Soit $A \in M_{n,p} (\mathbb{K})$ et $f$ une application linéaire associée à $A$ :

Ker $A = \{ X \in M_{p,1} (\mathbb{K}), AX = 0 \}$ , SEV de $\mathbb{K}^p$ . C’est l’ensemble des solutions de l’équation $AX = 0$ .
Im $A = \{ AX, X \in M_{p,1} (\mathbb{K}) \}$ , SEV de $\mathbb{K}^n$ engendré par les colonnes de $A$ .
$f$ injective si et seulement si Ker $A = \{0\}$
$f$ surjective si et seulement si Im $A = M_{n,1} (\mathbb{K})$

Matrice de passage

$B = (e_1,e_2,\dots,e_n) \quad B' = (f_1,f_2,\dots,f_n) \quad P_{BB'}$ est la matrice représentative de l’application identité $Id_E$ , de $E$ muni de la base $B'$ dans $E$ muni de la base $B \qquad P_{BB'} = Mat_{B'B} (Id_E) \qquad P_{B'B} = {P_{BB'}}^{-1}$ .

$X = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \text{ et } X' = \left( \begin{array}{c} x_1' \\ x_2' \\ \vdots \\ x_n' \end{array} \right) \text{ coordonn\'ees de } x \text{ dans les bases } B \text{ et } B' \longrightarrow X = P_{BB'} X'$

Double changement de base pour une application linéaire

$f \in L(E,F) \quad P = P_{B_E B_E'} \quad Q = P_{B_F B_F'} \quad A = Mat_{B_E B_F} (\phi) \quad A' = Mat_{B_E' B_F'} (\phi) \quad A' = Q^{-1} A P$

$f \in L(E) \qquad A = Mat_{B_E B_E'} \qquad A' = P^{-1} A P$

Application linéaire canoniquement associée

Soit $A \in M_{n,p} (\mathbb{K})$ . L’application linéaire canoniquement associée à $A$ est $u_A$ de $\mathbb{K}^p$ vers $\mathbb{K}^n$ dont une matrice associée est $A$ .

Rang de A :

rg $(A) =$ rg $(u_A)$ . C’est le rang de la famille de ses vecteurs colonne.
rg $(A) \le$ inf $⁡(n,p)$
dim Ker $(A))$ + rg $(A) = p$

Matrice canonique d’une application linéaire

Soient dim $E = p$ , dim $F = n$ et $f \in L(E,F)$ de rang $r \ge 1$ .
Alors il existe une base de $E$ et une base de $F$ telles que la matrice de $f$ sur ces deux bases soit, en l’écrivant par blocs :