Séries

Si (u_n) et (v_n) ne diffèrent que d’un nombre fini de termes, alors \sum u_n et \sum v_n sont de même nature.

Série télescopique : (u_n) converge \iff \sum (u_{n+1} - u_n) converge.

Condition nécessaire de convergence : \sum u_n converge \implies \lim⁡ u_n = 0.

Opérations sur les séries

    \[ \sum u_n \text{ converge } \implies \sum \lambda u_n \text{ converge et } \sum_{n=0}^{+\infty} \lambda u_n = \lambda \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \]

    \[ \sum u_n, \sum v_n \text{ convergent } \implies \sum \ (u_n + v_n) \text{ converge et } \sum_{n=0}^{+\infty} (u_n + v_n) = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n + \sum_{n=0}^{+\infty} v_n \]

La somme d’une série convergente et d’une série divergente est une série divergente.
On ne peut pas conclure sur la somme de deux séries divergentes.

SÉRIES À TERMES POSITIFS

On suppose dans ce qui suit que les séries sont à termes positifs.

La suite des sommes partielles d’une série à termes positifs est croissante. La série converge si et seulement si la suite des sommes partielles est majorée.

On suppose qu’à partir d’un certain rang, 0 \le u_n \le v_n, alors :

    \[ \sum v_n \text{ converge } \implies \sum u_n \text{ converge } \qquad \qquad \sum u_n \text{ diverge } \implies \sum v_n \text{ diverge } \]

Si u_n \sim v_n alors \sum u_n et \sum v_n sont de même nature.

    \[ f \text{ une fonction continue positive et monotone. La série } \sum f(n) \text{ et la suite } \left ( \int_0^n f(t)dt \right ) \text{ sont de m\^eme nature.} \]

Sommes de Riemann

    \[ \sum \dfrac{1}{n^\alpha} \text{ converge } \iff \alpha > 1 \]

    \[ u_n = O(\dfrac{1}{n^\alpha}) \text{ et } \alpha > 1 \implies \sum u_n \text{ converge.} \qquad \qquad \dfrac{1}{n^\alpha} = O(u_n) \text{ et } \alpha \le 1 \implies \sum u_n \text{ diverge.} \]

Critère d’Alembert :

    \[ \text{Sachant que } \lim \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \lambda \]

    \[ \lambda < 1 \implies \sum u_n \text{ converge.} \qquad \qquad \lambda > 1 \implies \sum u_n \text{ diverge.} \qquad \qquad \lambda = 1 \text{ alors on ne peut pas conclure.} \]

AUTRES PROPRIÉTÉS

Séries absolument convergentes

Une série est absolument convergente si la série formée avec les valeurs absolues des éléments de la même suite est convergente.
Pour démontrer qu’une série converge, il suffit de démontrer qu’elle est absolument convergente
Si \sum v_n est une série à termes positifs et convergente, et si u_n =O(v_n), alors \sum u_n est absolument convergente.

Séries alternées

Une série \sum u_n est alternée si u_n = (-1)^n a_n ou (a_n) est une suite positive.
Si (a_n) est décroissante de limite nulle, alors \sum u_n converge, les sommes partielles (S_{2n}) et (S_{2n+1}) sont adjacentes, le reste R_n est du signe de (-1)^{n+1} et \lvert R_n \rvert \le a_{n+1}.

Produit de Cauchy

Soient \sum u_n et \sum v_n deux séries absolument convergentes. Soit la série \sum w_n définie par :

    \[ w_n = \sum_{p+q=n} u_p v_q = \sum_{p=0}^n u_p v_{n-p} \quad \text{alors} \quad \sum w_n \text{ converge et } \sum_{n=0}^{+\infty} w_n = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \times \sum_{n=0}^{+\infty} v_n \]

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