Suites

Soit (u_n) une suite algébrique de premier terme u_0 et de raison r. Montrer que la suite (v_n) définie pour tout entier naturel n par v_n = 2^{u_n} est géométrique.

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +\infty[ par f(x)=\dfrac{1}{x}, dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. À partir de la fonction f, on définit, pour tout entier n \ge 1, la suite (u_n) comme indiqué ci-dessous.

u_1 est l’aire du premier rectangle rouge ;
u_2 est l’aire du deuxième rectangle rouge ;
u_3 est l’aire du troisième rectangle rouge ;
u_n est l’aire du n-ième rectangle rouge.

  1. Donner une définition explicite pour u_n.
  2. Calculer u_1 + u_2, u_1 + u_2 + u_3, u_1 + u_2 + u_3 + u_4.
  3. Calculer u_1 + u_2 + \dots + u_n.

On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = -\dfrac{1}{2} u_n + 3.

  1. Calculer u_1, u_2, u_3
  2. La suite (u_n) est-elle arithmétique, géométrique ?
  3. On pose v_n = u_n - 2. Démontrer que la suite (v_n) est géométrique de raison -\dfrac{1}{2}.
  4. Déduire de la question précédente l’expression de v_n en fonction de n.
  5. Déterminer u_n en fonction de n.

Indiquer si chaque suite donnée ci-dessous, est géométrique ou non. Justifier votre réponse.

  1. u_n =n^3
  2. v_n = 2 + 3n
  3. w_n = \dfrac{2^n}{3^{n+1}}
  4. t_n = 2n

Une suite arithmétique est telle que u_4 = 17 et u_{11}=10.

  1. déterminer sa raison et son premier terme.
  2. Calculer u_{50}.

Calculer 2 + 4 + 6 + \dots + 2000.

On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = \dfrac{1}{3} u_n + n - 2.

  1. Calculer u_1, u_2, u_3
  2. On définit la suite (v_n) par v_n = -2u_n + 3n - \dfrac{21}{2}. Démontrer que la suite (v_n) est une suite géométrique dont donnera la raison et le premier terme.
  3. En déduire que, pour tout entier naturel n, u_n = \dfrac{25}{4} \left ( \dfrac{1}{3} \right ) ^n + \dfrac{3}{2}n - \dfrac{21}{4}.
  4. Soit S_n = u_0 + u_1 + \dots ± u_n. Déterminer l’expression de S_n en fonction de n.
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